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Demostración del Teorema de Rolle

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Con la siguiente explicación, se trata de demostrar que este teorema es correcto.

Una función f cualquiera tiene que cumplir una de las siguientes condiciones:

 

  • f(x) = f(a) para todo x perteneciente al intervalo [a,b].
    En este caso, f es constante y, por lo tanto, f ' (x) = 0 para todos los puntos, es decir, todo punto c del intervalo satisface que f ' (c) = 0.

  • f(x) > f(a) para algún x perteneciente a [a,b].

    Como f es continua en dicho intervalo, f alcanza su máximo en ese intervalo (por el Teorema de Weierstrass). Al haber algún punto x distinto del punto a con f(x) > f(a) y como f(a) = f(b), entonces ese máximo se alcanza en algún punto c del intervalo. Puesto que existe la derivada en todo el intervalo [a,b], entonces necesariamente f ' (c) = 0.

  • f(x) < f(a) para algún x perteneciente a [a,b].

    En este caso, f tiene un mínimo en dicho intervalo y por un razonamiento semejante al del punto anterior se concluye que existe un punto c en el intervalo que cumple f ' (c) = 0.

 

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