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Ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales son la forma que tenemos para modelizar el comportamiento o evolución de magnitudes que dependen de variables como el tiempo o la posición, o de ambas a la vez. Son ecuaciones, por tanto, en las que aparece no sólo una magnitud, sino también sus derivadas con respecto al tiempo (velocidades, aceleraciones. . . ) y/o a coordenadas espaciales. Este curso es una primera toma de contacto con este tipo de ecuaciones, por lo cual se han escogido tan sólo unos pocos temas, dejando de lado otros. Por ejemplo, los sistemas dinámicos o los métodos numéricos son objeto de otros cursos dentro de la oferta OCW de esta universidad, así que no los abordaremos aquí. Sí que se han incluido aquí algunos temas, por su relación con las ecuaciones diferenciales, pero que guardan estrecha relación con otros ámbitos de las matemáticas, como son las transformadas integrales de Fourier y de Laplace y las series trigonométricas de Fourier. Se echarán en falta, por contra, temas de funciones especiales o de cálculo de extremos. Las ecuaciones diferenciales pueden ser ordinarias (si las magnitudes que queremos conocer dependen de una variable tan sólo, como el tiempo o una coordenada espacial) o ecuaciones en derivadas parciales (si las magnitudes dependen de varias variables, ya sean espaciales o el tiempo y coordenadas espaciales). La asignatura arranca con el caso más sencillo: ecuaciones ordinarias de primer orden (dependientes a lo sumo de primeras derivadas) para ir avanzando en diversas direcciones: Podemos aumentar el número de ecuaciones y estudiar los sistemas de ecuaciones ordinarias de primer orden. O bien seguir con una sola ecuación ordinaria y estudiar las ecuaciones de orden superior al primero. Finalmente, otra generalización que abordaremos será pasar de una sola variable (ecuaciones ordinarias) a varias variables (ecuaciones en derivadas parciales), para las cuales seguiremos el mismo proceso: Ecuaciones de primer orden. Ecuaciones de segundo orden, con especial énfasis en las ecuaciones de la física matemática.

Portada

LEONARDO FERNÁNDEZ JAMBRINA

 

Departamento de Matemáticas e Informática Aplicadas a las Ingenierías Civil y Naval.
Escuela Técnica Superior de Ingenieros Navales
Universidad Politécnica de Madrid.

Asignatura obligatoria de 2º curso impartida en los Grados en Ingeniería Marítima y Arquitectura Naval.

Febrero 2015.

 

 

Créditos: 6 ECTS.

 

PRERREQUISITOS Y CONOCIMIENTOS PREVIOS RECOMENDADOS

Los conocimientos matemáticos que se requieren para seguir la asignatura son :

  • Cálculo en una y varias variables
  • Álgebra Lineal

 

DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA ASIGNATURA

Las ecuaciones diferenciales son la forma que tenemos para modelizar el comportamiento o evolución de magnitudes que dependen de variables como el tiempo o la posición, o de ambas a la vez. Son ecuaciones, por tanto, en las que aparece no sólo una magnitud, sino también sus derivadas con respecto al tiempo (velocidades, aceleraciones. . . ) y/o a coordenadas espaciales. 

Este curso es una primera toma de contacto con este tipo de ecuaciones, por lo cual se han escogido tan sólo unos pocos temas, dejando de lado otros. Por ejemplo, los sistemas dinámicos o los métodos numéricos son objeto de otros cursos dentro de la oferta OCW de esta universidad, así que no los abordaremos aquí. 

Sí que se han incluido aquí algunos temas, por su relación con las ecuaciones diferenciales, pero que guardan estrecha relación con otros ámbitos de las matemáticas, como son las transformadas integrales de Fourier y de Laplace y las series trigonométricas de Fourier. Se echarán en falta, por contra, temas de funciones especiales o de cálculo de extremos. 

Las ecuaciones diferenciales pueden ser ordinarias (si las magnitudes que queremos conocer dependen de una variable tan sólo, como el tiempo o una coordenada espacial) o ecuaciones en derivadas parciales (si las magnitudes dependen de varias variables, ya sean espaciales o el tiempo y coordenadas espaciales). 

La asignatura arranca con el caso más sencillo: ecuaciones ordinarias de primer orden (dependientes a lo sumo de primeras derivadas) para ir avanzando en diversas direcciones: 

  • Podemos aumentar el número de ecuaciones y estudiar los sistemas de ecuaciones ordinarias de primer orden. 
  • O bien seguir con una sola ecuación ordinaria y estudiar las ecuaciones de orden superior al primero. 
  • Finalmente, otra generalización que abordaremos será pasar de una sola variable (ecuaciones ordinarias) a varias variables (ecuaciones en derivadas parciales), para las cuales seguiremos el mismo proceso:
    • Ecuaciones de primer orden.
    • Ecuaciones de segundo orden, con especial énfasis en las ecuaciones de la física matemática.

Vídeo de presentación de los conceptos de la asignatura:  

 Ecuaciones diferenciales     (Verlo en YouTube)

 

RESULTADOS DEL APRENDIZAJE

  • Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y sus problemas de valores iniciales. 
  • Resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes y sus problemas de valores iniciales. 
  • Resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes y sus problemas de valores iniciales. 
  • Resolver problemas de valores iniciales por transformada de Laplace. 
  • Resolver problemas de valores iniciales para ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de primer orden. 
  • Clasificar las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de segundo orden y reducirlas a sus formas canónicas.
  • Resolver problemas de valores iniciales y mixtos para la ecuación de la cuerda vibrante. 
  • Resolver problemas de contorno para la ecuación de Laplace. 
  • Resolver problemas de valores iniciales y mixtos para la ecuación del calor. 
  • Resolver problemas para ecuaciones diferenciales en derivadas parciales por separación de variables.

 

MATERIAL DEL CURSO

Para poder realizar el curso disponemos de una serie de materiales, adaptados a las preferencias y nivel de profundización del alumnado:

Parte teórica:

  • Píldoras educativas (vídeos): Los vídeos son autocontenidos. Es decir, no son clases grabadas, sino presentaciones de aspectos concretos del curso, con duración alrededor de los diez minutos. Es el nivel fundamental para seguir el curso como en el aula, con la ventaja de poder interrumpir las explicaciones, volver hacia atrás. Los alumnos del curso presencial los prefieren a las clases de pizarra. 
  • Resúmenes de los temas en PDF: Cada tema está resumido a nivel de formulario en una hoja o dos, ideal para realizar los ejercicios. De hecho, es el único material autorizado para las pruebas presenciales. 
  • Capítulos de libro en formato PDF: Para quien desee profundizar algo más o aclarar demostraciones que no se ven en las presentaciones. 
  • Bibliografía: Para un nivel mayor de profundidad, se puede acudir a los libros que se indican en dicha sección. 

Parte práctica: 

  • Píldoras educativas: Entre los vídeos hay ejemplos prácticos. Pero, para poder practicar lo aprendido, hay también: 
  • Hojas de problemas de cada tema en formato PDF. 
  • Soluciones de las hojas en formato PDF.
  • Un ejemplo de prueba práctica, con su solución.

 

ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN O TAREAS PRÁCTICAS

Podemos ver un ejemplo de evaluación en el siguiente examen, acompañado de su solución:

  • Enunciado de examen (PDF)
  • Solución del examen (PDF)

 

Descargar Guía de aprendizaje completa (PDF)

 

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