Geometría esférica

Autores: Ana Casaravilla Gil, María Ángeles Gilsanz Mayor

La geometría esférica es la geometría que describe la superficie de una esfera. Es muy útil para los pilotos y navegantes que viajan en aviones y barcos dando vueltas alrededor de la Tierra. En esta geometría el camino más corto entre dos puntos es un círculo máximo, o sea, una circunferencia trazada sobre la esfera y cuyo centro es el mismo centro de la esfera. Por ejemplo, el camino más corto entre Florida y las Islas Filipinas pasa por Alaska, ya que esos tres puntos están situados sobre un mismo círculo máximo de la Tierra. Entre dos puntos antípodas (España y Australia, por ejemplo) hay infinidad de círculos máximos, o sea, dichos puntos no determinan un único camino más corto.

En la geometría esférica, la suma de los ángulos de un triángulo esférico es siempre mayor que 180º, lo cual se aprecia sobre todo en triángulos grandes. Este resultado choca con el conocido teorema de la geometría de Euclides, que dice que "la suma de los ángulos de todo triángulo es siempre igual a 180º ".

La existencia de resultados y teoremas en la geometría esférica contrarios a los euclídeos se debe a que en la geometría esférica no se verifican algunos de los axiomas de Euclides.

Para analizar si se verifica o no el primer axioma, recordemos que, en la geometría euclídea, se llama recta al camino más corto posible entre dos puntos. Por esa razón, se llama "recta esférica" o "E-recta" entre dos puntos situados sobre la esfera al círculo máximo que pasa por ellos. Para trazar la E-recta que pasa por dos puntos dados A y B, se toma un plano que pase por A, B y el centro O de la esfera, y se corta la esfera con dicho plano. Así resulta un círculo máximo de la esfera que contiene a los puntos A y B, es decir, una E-recta que pasa por ellos. En muchos casos, A, B y O determinarán un único plano y por tanto una única E-recta que pase por ellos. Pero si los puntos A y B están alineados con O, es decir, si A y B son los extremos de un diámetro, entonces hay infinidad de planos que pasan por ellos y por tanto infinitas E-rectas que los contienen. En este caso se dice que los puntos son antípodas. El razonamiento que acabamos de hacer prueba que entre dos puntos puede haber más de una E-recta, por lo que, en la geometría esférica, no es válido el primer postulado de Euclides.

También es fácil ver que se viola el 2º postulado de Euclides: "Todo segmento de recta puede prolongarse en cualquier dirección". En geometría esférica, un E-segmento de E-recta es, en realidad, un arco de círculo máximo, y, si prolongamos dicho arco en cualquiera de las dos direcciones, su extremos irán variando de lugar pero manteniéndose siempre en el círculo máximo correspondiente, por lo que llegará un momento en el que ambos extremos llegarán a coincidir, y el arco no podrá prolongarse más. Por tanto, en la geometría esférica, no es válido el segundo postulado de Euclides.

En cuanto al axioma de las paralelas, comencemos recordando que, en la geometría de Euclides, se dice que dos rectas de un mismo plano son paralelas si, por mucho que se prolonguen, no llegan a cortarse nunca. Ahora bien, en la esfera, dos círculos máximos siempre se cortan, por lo que en la geometría esférica no hay E-rectas paralelas. Por ello, en esta geometría no se verifica el 5º postulado de Euclides, y sí la alternativa A de su negación: