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    • Accésit en la rama de Ciencias al III Premio Ministerio de Educación-Universia a la iniciativa OCW

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    Descripción del curso


    • PRERREQUISITOS Y CONOCIMIENTOS PREVIOS RECOMENDADOS

      Como se podrá ver, los conocimientos matemáticos que se requieren para seguir la asignatura son bastante elementales:

      • Conocimientos de algún lenguaje de programación (Matlab/Maple).
      • Conocimientos básicos de geometría de curvas y superficies.
      • Álgebra lineal.

       

      DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA ASIGNATURA

      El diseño geométrico asistido por ordenador tiene su origen esencialmente en la industria del automóvil. El problema fundamental del que se ocupa consiste en describir las formas, curvas, superficies de un objeto (una pieza de una máquina, el casco de un buque o de un avión...) en forma matemática sencilla, pero eficiente y precisa, que permita trasladar a las oficinas técnicas las características del objeto para su manufactura.

       

      OBJETIVOS: CONOCIMIENTOS Y CAPACIDADES

      El propósito de esta asignatura es facilitar el acceso, tanto de matemáticos, como de informáticos e ingenieros, a los algoritmos que subyacen en las aplicaciones de diseño geométrico asistido por ordenador.

       

      ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN O TAREAS PRÁCTICAS

      El alumno deberá obtener una calificación igual o superior a cinco en alguna de las dos convocatorias:

      • Primera convocatoria: Evaluación a distancia a través de la plataforma del GATE.
      • Segundo convocatoria: Examen presencial (Es preciso inscribirse con antelación).

      El resultado de la evaluación a distancia será la media de los cuatro primeros temas. El quinto tema servirá como actividad complementaria para subir la calificación.

      Cada tema incluirá, en su caso, cuestiones y ejercicios. La nota de cada tema se compondrá de cinco puntos de las cuestiones y cinco puntos de los ejercicios. La calificación de cada tarea, así como la acumulada puede consultarse en la página de la asignatura.

      La segunda convocatoria consistirá en un examen presencial, compuesto de ejercicios.

        

      Descargar Guía de la asignatura (PDF)

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    Programa

      1. Introducción: El plano afín. Aplicaciones afines. Razón simple. Coordenadas cartesianas y baricéntricas. El plano proyectivo. Coordenadas homogéneas. Aplicaciones proyectivas. Razón doble.
      2. Curvas de Bézier: Polinomios de Bernstein. Curvas polinómicas en forma de Bézier. Propiedades. Elevación del grado. Algoritmo de de Casteljau. Forma polar. Derivadas. Interpolación y aproximación. Elección de nudos.
      3. Curvas racionales: Curvas racionales de Bézier. Pesos. Propiedades. Elevación del grado. Algoritmo de de Casteljau. Derivadas. Interpolación y aproximación.
      4. Curvas spline: Ejemplos de curvas polinómicas a trozos. Curvas B-spline. Algoritmo de de Boor. Propiedades. Algoritmo de inserción. Elevación del grado. Diferenciabilidad. Funciones B-spline o nodales. Propiedades. Splines racionales. Teorema de Holladay.
      5. Superficies de Bézier: Superficies polinómicas en forma de Bézier. Superficies racionales. Propiedades. Elevación del grado. Algoritmo de de Casteljau. Forma polar. Derivadas. Interpolación y aproximación.
      6. Generación de superficies: Superficies traslacionales. Superficies regladas y desarrollables. Superficies de Coons. Superficies de revolución.

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    Bibliografía

      • LO-B-001. Curves and Surfaces for CAGD: a Practical Guide. 5 edición. G. Farin. Morgan Kaufmann Publishers, San Francisco (2002).
      • LO-B-002. Fundamentals of Computer Aided Geometric Design. J. Hoschek, D. Lasser. AK Peters Ltd., Wellesley (1993).
      • LO-B-003. Computer Graphics and Geometric Modeling. D. Salomon. Springer Verlag, New York (1999).
      • LO-B-004. Mathematical Elements for Computer Graphics. D.F. Rogers, J .A. Adams. McGraw-Hill, New York (1990).
      • LO-B-005. The NURBS Book. 2 edición. L. Piegl, W. Tiller. Springer Verlag, Berlin (1997).
      • LO-B-006. NURBS : from Projective Geometry to Practical Use. 2 edición. G. Farin. AK Peters Ltd., Natick (1999).
      • LO-B-007. A Practical Guide to Splines. C. de Boor. Springer Verlag, New York (1978).

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    Material de clase

    • Tema 1: Introducción

      Este es un tema introductorio en el que se repasan, e introducen, algunos conceptos geométricos útiles, pero no indispensables, para el curso.

      • MC-F-001.Introducción (PDF)
      • MC-F-002. El plano afín (PDF)
      • MC-F-003. Coordenadas cartesianas (PDF)
      • MC-F-004. Coordenadas baricéntricas (PDF)
      • MC-F-005. Plano proyectivo (PDF)
      • MC-F-006. Coordenadas proyectivas (PDF)
      • MC-F-007. Aplicaciones proyectivas (PDF)
        Toda la materia del tema 1 en formato pdf. (PDF)
      Videos.

       

      Tema 2: Curvas polinómicas

      Introducimos en este tema las curvas más sencillas del diseño, las curvas polinómicas o de Bézier, mostrando sus buenas propiedades.(Presentación)

      • MC-F-008. Introducción (PDF)
      • MC-F-009. Curvas de Bézier (PDF)
      • MC-F-010. Propiedades de las curvas de Bézier (PDF)
      • MC-F-011. Algoritmo de De Casteljau (PDF)
      • MC-F-012. Forma polar de una parametrización (PDF)
      • MC-F-013. Elevación del grado (PDF)
      • MC-F-014. Derivadas (PDF)
      • MC-F-015. Interpolación (PDF)
      • MC-F-016. Aproximación (PDF)
        Toda la materia del tema 2 en formato pdf. (PDF)
      Videos.
      • ¿Curvas polinómicas?

      • Curvas de Bézier

      • Algoritmo de De Casteljau

      • Derivación y elevación del grado
      • Interpolación y aproximación de curvas

       

      Tema 3: Curvas Racionales

      En este tema extendemos las curvas de Bézier a curvas racionales, lo que nos permitirá representar de manera exacta todas las cónicas. (Presentación)

      • MC-F-017. Introducción (PDF)
      • MC-F-018. Curvas racionales (PDF)
      • MC-F-019. Propiedades de las curvas racionales (PDF)
      • MC-F-020. Cónicas (PDF)
      • MC-F-021. Elevación del grado (PDF)
      • MC-F-022. Algoritmo de De Casteljau (PDF)
      • MC-F-023. Derivadas (PDF)
      • MC-F-024. Interpolación y aproximación (PDF)
      Toda la materia del tema 3 en formato pdf. (PDF)
      Video
      • Curvas racionales

      • Cónicas

      • Ejemplo de cónicas
      • Algoritmo de De Casteljau y derivación


      Tema 4: Curvas spline

      Aquí abordamos la solución definitiva al tema de representación de curvas en el diseño: las curvas polinómicas y racionales a trozoa o spline. (Presentación)

      • MC-F-025. Introducción (PDF)
      • MC-F-026. Parábolas C1 a trozos (PDF)
      • MC-F-027. Curvas C2 a trozos (PDF)
      • MC-F-028. Cúbicas C1 a trozos (PDF)
      • MC-F-029. Curvas B-spline (PDF)
      • MC-F-030. Forma polar (PDF)
      • MC-F-031. Algoritmo de De Boor (PDF)
      • MC-F-032. Propiedades de las curvas polinómicas a trozos (PDF)
      • MC-F-033. Algoritmo de inserción (PDF)
      • MC-F-034. Diferenciabilidad (PDF)
      • MC-F-035. Elevación del grado (PDF)
      • MC-F-036. Funciones B-spline o nodales (PDF)
      • MC-F-037. Propiedades de las funciones B-spline (PDF)
      • MC-F-038. Splines racionales (PDF)
      Toda la materia del tema 4 en formato pdf. (PDF)

      Video.

      • Curvas spline
      • Parábolas a trozos
      • Ejemplo de tramo parabólico spline
      • Cúbicas a trozos
      • Interpolación cúbica
      • Curvas B-spline
      • Algoritmo de De Boor
      • Propiedades de las curvas spline
      • Algoritmo de inserción de nudos y elevación del grado
      • Derivadas de curvas spline
      • Funciones B-spline
      • Splines racionales


      Tema 5: Superficies de Bézier

      Después de la complejidad que han supuesto las curvas compuestas, retomamos la sencillez con un objeto nuevo: las superficies. Utilizaremos muchas de las ideas desarrolladas para curvas, pero a un nivel más bajo. (Presentación)

      • MC-F-039. Introducción (PDF) 
      • MC-F-040. Superficies de Bézier (PDF)
      • MC-F-041. Propiedades de las superficies de Bézier (PDF)
      • MC-F-042. Algoritmo de De Casteljau (PDF)
      • MC-F-043. Elevación del grado (PDF)
      • MC-F-044. Derivadas (PDF)
      • MC-F-045. Interpolación y aproximación (PDF)
        Toda la materia del tema 5 en formato pdf. (PDF)
      Video.
      • Superficies

      • Superficies de Bézier
      • Algoritmo de De Casteljau
      • Uniones de curvas y twists
      • Interpolación y aproximación de superficies

      Tema 6: Generación de superficies

      Terminamos el curso con un tema práctico en el que abordaremos los métodos elementales de generación de superficies basadas en curvas: traslacionales, regladas, de Coons y de revolución. (Presentación)

      • MC-F-046. Introducción (PDF)
      • MC-F-047. Superficies traslacionales (PDF)
      • MC-F-048. Superficies regladas (PDF)
      • MC-F-049. Superficies desarrollables (PDF)
      • MC-F-050. Superficies de Coons (PDF)
      • MC-F-051. Superficies de revolución (PDF)
        Toda la materia del tema 6 en formato pdf. (PDF)
      Video.
      • Superficies traslacionales
      • Superficies regladas y de Coons
      • Superficies de revolución

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    Cuestionarios

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    Ejercicios, Proyectos y casos

      • EP-F-001. Cuestiones del Tema 1 (PDF).
      • EP-F-002. Cuestiones del Tema 2 (PDF).
      • EP-F-003. Cuestiones del Tema 3 (PDF).
      • EP-F-004. Cuestiones del Tema 4 (PDF).
      • EP-F-005. Cuestiones del Tema 5 (PDF).
      • EP-F-006. Cuestiones del Tema 6 (PDF).

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    Otros recursos

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    Autores del material

    • E.T.S.I.Navales

      E.T.S.I. Navales
      Departamento de Matemática e Informáticas aplicadas a las ingenierías civil y naval

      Leonardo Fernández Jambrina

      Alicia Cantón Pire
      Leonardo Fernández Jambrina

      Catedrático de la Universidad


      Alicia Cantón Pire

      P.T.U de la Universidad