Cálculo I
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Descripción del curso
PRERREQUISITOS Y CONOCIMIENTOS PREVIOS RECOMENDADOS
Los propios de la enseñanza de las matemáticas en Bachillerato haciendo especial hincapié en: operaciones aritméticas elementales; manipulación de ecuaciones: trigonométricas, logarítmicas, exponenciales, lineales; resolución de ecuaciones de segundo grado; cálculo de límites de funciones; cálculo de derivadas y primitivas de funciones; representación gráfica de funciones; conocimiento de las cónicas.
DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA ASIGNATURA
La asignatura CÁLCULO I es una asignatura troncal que se imparte en el primer curso y durante el primer cuatrimestre en la E.U.I.T. Aeronáutica de la Universidad Politécnica de Madrid. En el plan de estudios actualmente en vigor consta de un total de 4,5 créditos LRU.
OBJETIVOS: CONOCIMIENTOS Y CAPACIDADES
Con esta asignatura se pretende en un principio que el alumno profundice en aquellos conocimientos de conjuntos numéricos reales y complejos. Más adelante avanzaremos en los conceptos de las funciones reales de una variable real que ha ido adquiriendo en los cursos de Secundaria y Bachillerato (derivación e integración) y que, en determinados aspectos, los completa. De este modo, se establecerán las bases imprescindibles para que el estudiante pueda abordar posteriormente con éxito el estudio de las distintas ramas que conforman los estudios de la titulación.
MATERIAL DOCENTE
Hoja de instrucciones (Antes de empezar).
Tablas/guiones de los temas.
Anexo relativos a cada uno de los temas.
Anexos generales (Colección de problemas, colección de exámenes).ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN O TAREAS PRÁCTICAS
En la asignatura se podrán encontrar una colección de problemas y también una de exámenes para evaluar los conocimientos adquiridos.
Antes de empezar (DOC)
Programa
TEMA 1. Conjuntos Numéricos. (2 semanas) - La recta real: valor absoluto, intervalos.
- Números complejos: representación y operaciones.
TEMA 2. Cálculo Diferencial. (6 semanas)
- Derivada de una función: definición, interpretación y propiedades. Diferencial.
- Función derivada. Derivación implícita. Función inversa. Derivadas sucesivas.
- Funciones derivables en intervalos: teoremas de valor medio.
- Estudio local de la gráfica de una función. Posición de una curva respecto de su tangente. Problemas de optimización.
- Aproximación local. Polinomio de Taylor. Teorema de Taylor.
Aplicaciones: cálculo de límites, errores,...
TEMA 3. Cálculo Integral. (6 semanas)
- Función primitiva. Integral indefinida.
- Integral definida según Riemann. Definición y propiedades.
- Teorema Fundamental de Cálculo. Regla de Barrow. Teorema de la media integral.
- Cálculo de primitivas. Métodos generales. Integración de algunas funciones racionales, trigonométricas e irracionales.
- Aplicaciones de la integración. Geométricas: áreas entre curvas, cálculo de volúmenes, longitudes de arco. Otras aplicaciones.
Bibliografía
Bibliografía principal
- B-B-001. CÁLCULO DE UNA VARIABLE. Trascendentes
tempranas (4ª edición).
JAMES STEWART
ISBN: 970-686-069-X
Bibliografía complementaria
- B-B-002. CÁLCULO, VOLUMEN 1 Y 2
Larson-Hostetler-Edwards
Ed. McGraw-Hill
- B-B-003. CÁLCULO, TOMO I Y II
Smith-Minton
Ed. McGraw-Hill
- B-B-001. CÁLCULO DE UNA VARIABLE. Trascendentes
tempranas (4ª edición).
Pruebas de evaluación
- Exámenes curso 2009/2010
- PE-E-001. Examen Febrero (PDF).
- Exámenes
curso 2008/2009
- Exámenes
curso 2007/2008
- Exámenes
curso 2006/2007
- Exámenes
curso 2005/2006
- Exámenes
curso 2004/2005
- Exámenes curso 2003/2004
- Exámenes curso 2002/2003
- Exámenes curso 2009/2010
Ejercicios, proyectos y casos
Cuadernillo
- EP-F-001. Cuadernillo de Cálculo I (PDF).
(Enunciados de ejercicios de Cálculo I).
- EP-F-001. Cuadernillo de Cálculo I (PDF).
(Enunciados de ejercicios de Cálculo I).
Guía de aprendizaje
Tema 1: Conjuntos Numéricos
Conocimientos previos especifícos Dominio de las operaciones algebraicas con los números reales, Plano Cartesiano (A10-11) Ecuación de una recta (A12-15), Gráficas de ecuaciones de segundo orden (cónicas) (A16-23), Trigonometría (A24-27) Contenidos Páginas del Stewart dónde encontrarlos Observaciones Ejercicios del libro (a modo de ejemplo) Problemas del cuadernillo Problemas del cuadernillo para profundizar 1ª PARTE. Definición de los números reales y números complejos (una semana)
Introducción: Conjunto de los naturales, enteros, racionales e irracionales. Método de Inducción. El cuerpo ordenado de los de los números reales. Representación: La Recta Real. Desigualdades. Apéndice A: pág. A2-A4; Pág. A37-38.; Pág. 79,82;
Debes de ampliar la información sobre la estructura de cuerpo ordenado de los números reales en el Archivo I.1 A37 Ejem. 4 y 5 (Inducción) A5 Ejem.2 y 3 [EjAplicación:A9 P39,40,41] 1(b), 3(a-d) 2 1(b), 3(a-d)Definición axiomática del conjunto de los números reales: Axioma del supremo. Intervalos. Valor absoluto. Distancia. Apéndice A: Pág. A6-A9;
Debes de ampliar la información sobre definición axiomática de lo números reales en el Archivo I.2
A3 Ejem. 7 y 8; Ejercicio del Archivo I.2 3(ijkñp) 3(mn) Definición de los números complejos. El cuerpo de los números Complejos. Parte real y parte imaginaria. Suma y producto. Representación: El Plano Complejo. Conjugado de un número complejo. Lugares geométricos . Apéndice G: A50-52 Véase: lugares geometricos Debes de ampliar la información sobre la estructura de cuerpo de lo números complejos en el Archivo I.3 8(abk) 3 Problemas de autoevaluación: 3(o),8(cdef) 2ª PARTE. Álgebra de los números complejos (Una semana)
Forma Polar, Módulo y Argumento. Exponencial Compleja. Formula de Euler. Forma modulo-argumental. Producto, División. Apéndice G: A52-54; A56
Debes de ampliar la información sobre la forma modulo-argumental de los números complejos en el Archivo I.4 Apéndice G: Ejem. 4(a),5(a-f) 10 Potencia. Formula de De Moivre. Raíz entera de un número complejo Apéndice G: A53-55;57 Apéndice G: Ejem.6, 7 7(ab),18 Polinomios complejos. Teorema Fundamental del Álgebra Apéndice G: A52 Debes de ampliar la información sobre el Teorema Fundamental del Álgebra en el caso particular con coeficientes reales en el Archivo I.5 Apéndice G: Ej. 14,16 (Prob. A57 33-40, 37-40) 12, 14,16 Problemas de autoevaluación: 3(o),8(cdef) Ejercicios de autoevaluación conceptual: Archivo I.Ev
Problemas de examen de tema I: problemas nº 1 de: feb 04; Jun 04; sep. 04; sep. 05; feb. 06
Conocimientos previos especifícos Cónicas, definición de función, función continua, límite de una función, cálculo de límites.
Contenidos Páginas del Stewart dónde encontrarlos Observaciones Ejercicios del libro (a modo de ejemplo) Problemas del cuadernillo Problemas del cuadernillo para profundizar 1ª PARTE. Conceptos iniciales (una semana)
Derivada de una función: definición, interpretación y propiedades. 147 de 162
Conceptos conocidos de cursos anteriores p. 171: 3,33,37,43 4 (1, 2, 3, 5, 8, 11, 12) 9, 10, 14, 15, 64 Reglas de derivación 180 a 194, 208 a 221
Las reglas de derivación se deberían conocer. En ese caso, lo más importante de este apartado sería la regla de la cadena.
p. 190: 27, 53, 55 p. 195: 11 y 25 p. 213: 19 p. 221: 27, 33 26 16, 17, 18 Aproximación lineal y Diferencial. 259 a 266
p. 264: 31 20
Problemas de autoevaluación: 27, 21 2ª PARTE. La derivada como función (semana y media)
Función derivada. 163 a 173
Relación entre continuidad y derivavilidad Apéndice G: Ejem. 4(a),5(a-f) 10 Derivación implícita. 224 a 230
p. 230: 15, 29 19 (a, b y c) Función inversa. Derivada de la función inversa
64 a 69 y P. 67, pág. 232 Debes de ampliar la información sobre derivada de la función inversa en el Archivo II.1
25 Derivadas sucesivas. 233 a 237
Funciones Hiperbólicas 246 a 251
Éstas son las únicas funciones que probablemente no hayas trabajado en el bachillerato
p. 251: 11, 12, 33, 49 22, 23 Problemas de autoevaluación: 19 (d), 28 (b), 24 3ª PARTE. Funciones derivables en intervalos, teoremas (una semana)
Valores máximos y mínimos. Puntos críticos 277 a 283
p. 285: 3, 51 41
65
Teoremas del valor extremo y de Fermat 279 a 280
Sin demostrar. Trabajar la búsqueda de extremos en intervalos cerrados
45 (a, b y c) Teorema de Rolle
288
p. 293: 5, 17, 25
33, 37 (29, 30, 31, 35, 36) 38, 39, 42 Teorema del valor medio (Lagrange) 289 a 291
p. 293: 5, 17, 25
33, 37 (29, 30, 31, 35, 36)
38, 39, 42 Problemas de autoevaluación: 45 (d y e), 34 4ª PARTE. Estudio local de la gráfica de una función (una semana)
Relaciones entre f, f' y f'' 294 a 305
Funciones crecientes en página 21 p. 302: 15, 17, 29, 37 6, 50 (13, 46, 49, 52, 53, 69) 32, 51, 55, 62 Formas indeterminadas y regla de L'Hopital 305 a 311
Demostración en Apéndice f. Pág. A48
p. 311: 11, 21, 57 40 (todos excepto h y l) Gráficas de funciones
314 a 321
p.321: 15, 25, 37, 47
54, 66 (47) 63, 68 Problemas de optimización 329 a 334
Ideas generales aprendidas en el bachillerato.
58, 70 (56)
59, 60 Problemas de autoevaluación: 7, 40(h y l), 67, 57 5ª PARTE. Aproximación local. Polinomios de Taylor (semana y media)
Polinomios de Taylor y Maclaurin 266 (Proyecto laboratorio) y 766 a 772 (Tomo II)
Recomendamos seguir esta parte por las páginas 643 a 652 del libro: Cálculo (Vol. 1) Larson/Hostetler/Edwards. Archivo II.2 p. 773: 5, 9 (Stewart, tomo II) 71 (73, 74, 75)
72, 76, 78, 79 Cálculo de errores Ejemplos
Problemas de autoevaluación: 77 Ejercicios de autoevaluación conceptual. Ver anexo II.Ev
Problemas de examen de tema II: P. 1 feb 03; problemas nº 2 de: sep. 04; sep. 05; feb. 06; jun. 06; sep. 06; feb. 07; jun. 07; sep. 07; ene. 08; jun. 08; sep. 08
Conocimientos previos especifícos Trigonometría (A24-27), Notación sigma (A37-40), Regiones en el plano cartesiano.
Contenidos Páginas del Stewart dónde encontrarlos Observaciones Ejercicios del libro (a modo de ejemplo) Problemas del cuadernillo Problemas del cuadernillo para profundizar 1ª PARTE. Conceptos iniciales (semana y media)
Integral indefinida: antiderivadas 351 a 356
p. 356: 3,17,19,63 1
Integral definida: sumas de Riemann. Definición y propiedades 367 a 388
p. 388: 1, 19,31
Teorema Fundamental de Cálculo. Regla de Barrow. 391 a 406 El Teorema fundamental del Cálculo se trabaja con funciones continuas (Pág. 395). La Regla de Barrow se enuncia como la parte II del Teorema. La Regla de Leibniz aparece en el ejemplo 3 (Pág. 395) y en el problema 60 (Pág. 400)
p. 398: 17,49,51 p. 407: 31, 41
7
6
Problemas de autoevaluación: 4 b),5 2ª PARTE. Cálculo de primitivas de una función (semana y media) Anexo III-1
Regla de sustitución o de cambio de variable. 410 a 416
Incluye las propiedades de simetría para el cálculo de integrales definidas. p. 416: 1,3,21,31,41
Integración por partes. 469 a 474
p. 474: 1,5,9,13,15,23 19 (a, b y c) Integración de funciones tigonométricas.
476 a 483
p. 482: 1,7,19
25 Integración por sustitución trigonométrica de algunas funciones irracionales. 483 a 488
p. 488: 1,2,3,11,13,25,31
Integración de funciones racionales mediante fracciones parciales. 490 a 497
p. 498: 3,13,15,17,25,31 22, 23 Estrategia para la integración. 499 a 505
Visión global del problema de cálculo de primitivas y de la aplicación de las técnicas estudiadas.
p.504: 1,7,33,41,53,65,73
Problemas de autoevaluación: 19 (d), 28 (b), 24 3ª PARTE. Aplicaciones de la integración (dos semanas) Anexo III-2
Cálculo del área entre curvas. 433 a 438
p. 438: 5,29,49 12
15
Cálculo del volumen de cuerpos de sección de área conocida. 440 a 448
Incluye el método de discos para cuerpos de revolución.
p. 448: 3,17,47,59
17 19
Método de tubos o capas para el cálculo del volumen de cuerpos de revolución.
451 a 454
p. 454: 5,13,25,37
27 24 Valor medio integral de una función. 460 a 462
p. 462: 3,5,13,21
Longitud de arco. 541 a 546
p. 546: 1,3,15
28
Aplicaciones a la física y la ingeniería: trabajo, momentos y centros de masas. 456 a 459 y 555 a 562
Incluye el Teorema de Papus.
p. 458: 23,25 p. 563: 23,39
Integrales impropias. 523 a 531
p 531: 3,11,13,41
46
Problemas de autoevaluación: 25, 47 4ª PARTE. Curvas en coordenadas polares (una semana)
TEXTO DE REFERENCIA EN LA 4ª PARTE CÁLCULO MULTIVARIABLE. CUARTA EDICIÓN
JAMES STEWART
ISBN: 970-686-123-8
Coordenadas polares. Tangentes a curvas en coordendas polares. 660 a 668
Definición y trazado de curvas en coordenadas polares. Regiones planas expresadas en coordenadas polares. Anexo III-3
p. 668: 7,9,15,17,43,57,59 35 Áreas y longitudes de arco en coordenadas polares.
670 a 674 Intersección de curvas en coordenadas polares. La longitud de arco se basa en curvas expresadas en coordendas paramétricas. Anexo III-4
p. 674: 1,3,11,21,33,37
36 39 Secciones cónicas en coordenadas polares. 682 a 686
Aplicación a las órbitas de los cuerpos celestes.
p. 686: 1,3,7,25
Problemas de autoevaluación: 37,38,41 Ejercicios de autoevaluación conceptual. Ver anexo III-Ev
Problemas de examen de tema III: P3 (sep06), P3 (jun09), P3 (sep07), P3 (feb06), P3 (jun07), P3 (sep09)
Autores del material
Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Aeronáutica
D. Pedro Plaza Menéndez
Dª. Mª Dictinia Pérez Vázquez
D. Javier Barbas González
Dª. Emilia Palma Villalón
D. Ignacio Gómez Pérez
Dª. Alicia Sánchez Gómez
